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（2023 丰台一模）★★★☆
26．在平面直角坐标系 xOy 中，点
1 A y ( 3, ) − ， 2 B a y ( 1, ) +
在抛物线
2
y x ax = − + 2 1
上．
（1）当 a＝2 时，求抛物线的顶点坐标，并直接写出
1
y
和
2
y
的大小关系：
（2）抛物线经过点
3 C m y ( , )．
①当 m＝4 时，若
1 3 y y =
，则 a 的值为_______；
②若对于任意的
4 6 m
都满足
1 3 2 y y y
，求 a 的取值范围．
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吴老师图解
（1）
(2, 3) − ， 1 2 y y .
思路&图解
由题知抛物线的解析式为
2
y x x = − + 4 1，
1）将解析式化为顶点式
2
y x = − − ( 2) 3，即顶点坐标为
(2, 3) −
2）由题知抛物线开口向上，
1 A y ( 3, ) − ， 2 B y (3, ) ，
如图，点
A
距离对称轴更远，故
1 2 y y .
（2）①
1
2
.
思路&图解
易求得抛物线的对称轴为
2
2 2
b a
x a
a
−
= − = − = ，
若
1 3 y y = ，则点
A
和点
C
关于对称轴对称，有
3
2
m
a
− +
= ，
且
m = 4，故
3 4 1
2 2
a
− +
= = .
（2）②
3
3
2
a
或
a 7 .
思路一：对称性比远近
分析
长话短说：
①
A ，C
的左右位置关系确定，但点
B
的位置不确定，要分类讨论！
②要注意存在与任意的区别.
备注：也可以先通过
1 3 y y ，求得
a
的范围，减少分类讨论的情况…
思路&图解
1）抛物线开口向上，抛物线上距离对称轴越远的点的纵坐标越大，
2）抛物线的对称轴为
x a = ，
3）①当
a + − 1 3
，即
a −4
时，如图：
此情况不存在！
②当
− + 3 1 4 a
，即
− 4 3 a
时，如图：
y2 y1 y3
a+1 -3 m
y1 y2 y3
-3 a+1 m
x=2
-3
3
3 / 3
思路&图解
若
1 3 y y
，则
3
2
m
a
− +
，且
4 6 m
（任意），故
max
3
2
m
a
− +
，即
3
2
a ，
若
3 2 y y
，则
1
2
a m
a
+ +
，同理得
min a m + ( 1)
，即
a 5，
3
3
2
a *（提示：注意分类讨论的前提），
③当
a + 1 6
，即
a 5
时，如图：
若
1 3 y y
，则
3
2
m
a
− +
，同理得
3
2
a ，
若
3 2 y y
，则
1
2
a m
a
+ +
，同理得
max a m + ( 1)
，即
a 7 ，
a 7 *（提示：注意分类讨论的前提）.
综上所述：
3
3
2
a
或
a 7 .
思路二：代数“硬算”
思路&图解
1）
1
y a a = + + = + 9 6 1 6 10，
2 2
2
y a a a a = + − + + = − + ( 1) 2 ( 1) 1 2，
2 2
3
y m am ma m = − + = − + + 2 1 2 1，
2）①若
1 3 y y
，即
2
6 10 2 1 a ma m + − + +
，整理得
2
(6 2 ) 9 + − m a m ，
由
4 6 m
知
6 2 0 + m
，化简得
2
9 ( 3)( 3) 3
6 2 2(3 ) 2
m m m m
a
m m
− + − −
= =
+ +
，
且
4 6 m
（任意），故
max
3
2
m
a
−
，即
3
2
a *，
②若
3 2 y y
，即
2 2 − + + − + 2 1 2 ma m a
，整理得
2 2
a ma m − + − 2 1 0 ，
因式分解得
[ ( 1)][ ( 1)] 0 a m a m − + − −
，解得
a m −1
或
a m +1，
同理知
min a m − ( 1)
或
max a m + ( 1) ，即
a 3*或
a 7 *.
综上所述：
3
3
2
a
或
a 7 .
y3 y2
y1
-3 m a+1
提示：
m
只是个常数，
a
才是未知
数（降幂排列）.
