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（2023 朝阳二模）★★★★

26．在平面直角坐标系 xOy 中，点（－1，y1）在抛物线

2

y x ax = −

上．

（1）求

1

y

的值（用含 a 的式子表示）；

（2）若

a −1

，试说明：

1

y  0

；

（3）点

2

(1, ) y ， 3

( 2, ) a y −在该抛物线上，若

1

y ， 2

y ， 3

y

中只有一个为负数，求 a 的取值

范围．

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吴老师图解

（1）

1+ a .

思路&图解

将

x =−1

代入解析式得

1

y a = +1 .

（2）

思路&图解

a −1，

 a +  − + 1 1 1

，即

a + 1 0

，由（1）知

1

y a = +1，

 1

y  0 .

（3）

a −1

或

1 2  a .

思路一：数形结合

分析

【1】“定调”

a =1

，即抛物线开口向上，大小固定！无需对开口方向进行分类讨论！

【2】“五大步”

对称轴

2 2

b a

x

a

= − =

顶点（有轨迹）

2

,

2 4

  a a   −

   2

y x =− y

轴交点以及对称点

(0,0) ，( ,0) a

x

轴交点

(0,0) ，( ,0) a

“支撑点”

(0,0)

思路&图解

1】

a  0

如图，若

a  0

，则必有

1

y  0 ，

1）当

0 1  a

时，有

2

y  0 ， 3

y  0

（提示：

a − 2 0

），故不符合题意，

2）当

a 1

时，有

2

y  0

，故需保证

3

y 0

，则有

a −2 0

，即

a 2，

1 2  a .

x

y

O a 1

x

y

O 1 a

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思路&图解

2】

a  0

如图，

若

a  0

，则必有

2

y  0 ， 3

y  0 ，

所以，只能让

1

y  0

，即

a −1.



综上所述：

a −1

或

1 2  a .

思路二：代数法“硬算”

分析

如何理解只有一个是负数？

令

1 2 3 y y y   0

，解该不等式，最后对其结果进行验证…

思路&图解

1）易求得

1

y a = +1， 2

y a = − +1， 3

y a = − + 2 4 ，

2）令

1 2 3 y y y   0

，即

( 1)( 1)( 2 4) 0 a a a + − + − + ，

变形为

( 1)( 1)(2 4) 0 a a a + − − ，

如图，解得

a −1

或

1 2 a ，

3）检验：

当

a =−1

时，

1

y = 0 ， 2

y = 2， 3

y = 6

，不符合题意，

当

a =1

时，

1

y = 2 ， 2

y = 0 ， 3

y = 2

，不符合题意，

当

a = 2

时，

1

y = 3， 2

y =−1， 3

y = 0

，符合题意，

且当

a −1

或

1 2  a

时，均符合题意（只有一个为负数）.



综上所述：

a −1

或

1 2  a .

x

y

a 1

O

-1 1 2