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（2023-2024 北京四中九上月考·10 月）★★★☆
24．已知关于 x 的二次函数 y1＝x
2＋bx＋c（实数 b，c 为常数）．
（1）若二次函数的图象经过点（0，4），对称轴为 x＝1，求此二次函数的表达式；
（2）若 b
2－c＝0，当 b－3≤x≤b 时，二次函数的最小值为 21，求 b 的值；
（3）记关于 x 的二次函数 y2＝2x
2＋x＋m，若在（1）的条件下，当 0≤x≤1 时，总有 y2≥
y1，求实数
m
的最小值．
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吴老师图解
（1）y1＝x
2－2x＋4.
思路&图解
1）由过点（0，4）知 c＝4，
2）由对称轴 x＝－
2
b
a
＝－
2
b ＝1 知 b＝－2，
∴二次函数的表达式为 y1＝x
2－2x＋4.
（2）－ 7
或 4.
分析
本题为区间最值问题，同学们需注意“区间”（x 的取值范围）与对称轴的左右位置关
系，从而进行分类讨论...
注意：分类讨论的每一种情况的“大前提”！
思路&图解
1）利用 b
2－c＝0 知 c＝b
2，则二次函数的解析式为 y1＝x
2＋bx＋b
2，
2）易求得该抛物线的对称轴为 x＝－
2
b ，
3）分类讨论，如图：
①若 b≤－
2
b
（b≤0），易知，当 x＝b 时，y1 取到最小值 21，
将 x＝b 代入解析式得 b
2＋b
2＋b
2＝21，
解得 b＝－ 7
或
7
（舍），
②若 b－3≥－
2
b
（b≥2），则当 x＝b－3 时，y1取到最小值 21，
代入得（b－3）2＋b（b－3）＋b
2＝21，
解得 b＝4 或－1（舍），
③若 b－3＜－
2
b
＜b（0＜b＜2），则当 x＝－
2
b
时，y1 取到最小值 21，
代入得（－
2
b
）2＋b（－
2
b
）＋b
2＝21，
解得 b＝2 7
（舍）.
∴综上所述：b＝－ 7
或 4.
x=
b
2
b-3
b
x=
b
2
b-3
b
x=
b
2
b-3
b
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（3）4.
思路&图解
如图，
1）对于抛物线 y1＝x
2－2x＋4，易求得当 0≤x≤1
时，有 3≤y1≤4，
2）对于抛物线 y2＝2x
2＋x＋m，易求得对称轴为
x＝－
1
4
，则当 0≤x≤1 时，y2 随 x 的增大而增大，
3）根据题意，应保证 y2（min）≥y1（max），
4）当 x＝0 时，y2 取到最小值 m，
x ∴m≥4，即 m 的最小值为 4.
y
y2
y1
O
